Rätsel des Tages: Teil 8 – Mathematisches Phänomen

Zu Beginn zeige ich einen Trick:

  • Nimm dir eine beliebige dreistellige Zahl und verdopple diese mit sich selbst. Beispiel: 153 wird zu 153.153
  • Teile diese Zahl erst durch 7, dann durch 11 und dann durch die Zahl 13
  • Wenn du keinen Fehler gemacht hast, hast du nun wieder deine Startzahl erreicht.

Der obige Trick funktioniert für alle dreistellige Zahlen. Deine Aufgabe ist herauszufinden, warum dies so ist.

  • Tipp 1: Es kann helfen, das Produkt der Zahlen 7, 11 und 13 zu berechnen.
  • Tipp 2: auf Nachfrage

 

Lösung:

Das Produkt der Primzahlen 7, 11 und 13 ergibt 1.001. Wenn man eine beliebige dreistellige Zahl abc nimmt und mit 1.001 multipliziert, wobei 𝑎 für die Hunderterziffer stehen soll (und damit ungleich 0 sein muss), b für die Zehnerziffer und c für die Einerziffer, passiert folgendes:

          𝑎𝑏𝑐⋅1.001=𝑎𝑏𝑐⋅(1000+1)=𝑎𝑏𝑐⋅1000+𝑎𝑏𝑐⋅1=𝑎𝑏𝑐000+𝑎𝑏𝑐=𝑎𝑏𝑐.𝑎𝑏𝑐
Bei der Division mit 1.001 wird genau dies wieder rückgängig gemacht. Und da 1.001 eben das Produkt der Primzahlen 7, 11 und 13 ist, ist die Division auch immer ohne Rest durchführbar.